Unidad 4. Flexion

Tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que están diseñadas para trabajar, principalmente, por flexión. Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas.

El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la deformación. El esfuerzo que provoca la flexión se denomina momento flector.

4.1 Diagrama de cortante y momento flexionante en vigas estaticamente determinadas

Hacer el diagrama de fuerza cortante y de momento flexionante de la viga simplemente apoyada mostrada.

4.2 Esfuerzo normal y cortane en vigas

Los esfuerzos internos sobre una sección transversal plana de un elemento estructura se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estéticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección.

Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana Σ de una viga es igual a la integral de las tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina).

Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales σ, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.
Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

4.3 Deflexion en vigas

En análisis estructural, se considera a las deflexiones, como la respuesta estructural, por que expresa, un momento de parámetros, que responde, a una acción de cargas aplicadas (muertas, sismos, etc.), las deflexiones son en cantidades no visibles. Las deflexiones, en estructuras, se pueden estimar, mediante métodos de cálculo, que se hará mención de los más conocidos.

• Método de trabajo real: Este método utiliza el principio de conservación de energía, que genera el trabajo externo, el cual debe ser igual al trabajo interno de deformación producto por los esfuerzos causadas por las cargas. La desventaja del método radica en su limitación, por que solo analiza una incógnita, no se amplía este método a más de un desplazamiento o rotación.

• Método de Castigliano: Este método es el Teorema de Castigliano, que, es la derivada parcial del trabajo de la deformación elástica, expresada en función de la fuerza; es igual al desplazamiento de su punto de paliación y sentido de las fuerzas.

• Método de trabajo virtual: Este método es el más versátil de los métodos tradicionales, para evaluar deflexiones elásticas de estructuras. Este método solo es aplicable a aquellos casos, en donde esta permitido la superposición, por su forma finita de análisis.

• Método de la doble integración: Este método permite ver, la ecuación de curvatura de la viga, la cual resulta del análisis de la ecuación diferencial de la línea elástica de una viga a flexión pura. La primera integración de la ecuación da la pendiente de la elástica en cualquier punto; la segunda integración se obtiene la ecuación de la elástica misma.

• Método de área de momentos: Este método, se basa en dos teoremas, que resultan muy útiles, para el cálculo de pendientes y deflexiones de vigas y pórticos.

• Método de la viga conjugada: Este método consiste en cambiar el problema de encontrar, las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistemas de cargas aplicadas. Tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica.

4.4 Vigas estaticamente indeterminadas

5 Esfuerzos Combinados

5.1 Circulo de Mhor para esfuerzos

Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden rescribirse para formar una ecuación de circunferencia :

Se tiene que :

σx' = ( σx + σy )/2 + (( σx - σy )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð)

ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - (( σx - σy )/2 ) (sen 2ð)

La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma :

σx' - ( σx + σy )/2 = (( σx - σy )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð)

Elevando al cuadrado se tiene :

(σx' - (σx + σy)/2)2 =(σx - σy)2/4 (cos 2ð)2 + (σx - σy) (cos 2ð) ðxy (sen 2ð) + ðxy2 (sen 2ð)2

Elevando al cuadrado la segunda ecuación se tiene :

ðx'y'2 = ðxy2 (cos 2ð)2 - ðxy (cos 2ð) (σx - σy) (sen 2ð) + (σx - σy)2/4 (sen 2ð)2

Sumando ambas expresiones :

(σx' - ( σx + σy )/2)2 + ðx'y'2 = ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2

Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces :

ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2 = b2

( σx + σy )/2 = a

Rescribiendo queda :

(σx' - a)2 + ðx'y'2 = b2

Si los ejes son :

x = σx'

y = ðx'y'


Tenemos :

( x - a )2 + y2 = b2

Que representa a una circunferencia con centro en x = a ; y = 0 con un radio

r = b. Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes características :

Centro en : x = ( σx + σy )/2 ; y = 0

Radio de : r2 = ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2

La figura siguiente muestra el círculo de Mohr creado a partir de un problema :

5.2 Analisis de esfuerzo bajo cargas combinadas

5.3 Estructuras

Las estructura es un elemento o conjunto de elementos unidos entre si, con la finalidad de soportar diferentes tipos de esfuerzos.

Las estructuras se pueden dividir en dos grupos según la posición de sus elementos (horizontal-vertical) o la movilidad de sus elementos(rígidas-verticales).

Para el diseño y construcción de estas hay que tener en cuenta las propiedades mecánicas de los materiales y el tipo de esfuerzos al que van a estar sometidos estos.

Algo que también hay que tener en cuenta es la estabilidad de la estructura, para ello hay que tener en cuenta la situación centro de gravedad y la amplitud de su base de apoyo.

Centro de gravedad es el punto donde confluye la fuerza resultante de la suma de todas las fuerzas que constituyen el peso del cuerpo o estructura. Para hallarlo hay que hacer las medianas de cada uno de sus lados(hallar el baricentro). Contra mas cerca del suelo este mas estabilidad tendrá la estructura.

Estructuras horizontales y verticales :

Las estructuras verticales son aquellas en las que los elementos que soportan los mayores esfuerzos están colocados en posición vertical .

Las estructuras horizontales son aquellas en las que los elementos que soportan los mayores esfuerzos se hallan colocadas horizontalmente. En este tipo de estructuras los elementos sometidos a mayor esfuerzo trabajan a flexión.

5.4 Columnas

Una columna es un elemento axial sometido a compresion, lo bastante delgado respecto a su longitud para que bajo la accion de una carga gradualmente creciente se rompa por flexion lateral o pandeo ante una carga mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento.

Las columnas suelen dividirse en 2 grupos:

a)Largas
b)Intermedias

A veces, los elementos cortos a compresion se consideran como un tercer grupo de columnas.
Las diferencias entre los tres grupos se determinan por su comportamiento.

Las columnas largas se rompen por pandeo o flexion lateral.
Las columnas intermedias se rompen por combinacion de esfuerzos, aplastamiento y pandeo.
Los postes cortos se rompen por aplastamiento.

Una columna ideal es un elemento homogeneo, de seccion recta constante inicialmente perpendicular al eje, y sometido a comprecion. Las columnas suelen tener pequeñas imperfecciones de material y fabricacion, asi como una inevitable exentricidad accidental en la aplicacion de la carga.La curvatura inicial de la columna, junto con la posicion de carga dan lugara una exentricidad indeterminada, con respecto al centro de gravedad, en una seccion cualquiera.
El estado de carga en esta seccion es similar al de un poste corto cargado exentricamente, y el esfuerzo resultante esta producido por la superposicion del esfuerzo directo de compresion y el esfuerzo de flexion.
Si la exenricidad es pequeña y el elemento es corto, la flexion lateral es despreciable, y el esfuerzo de flexion es insignificante comparado con el esfuerzo de compresion directo.

En un elemento largo, que es mucho mas flexible ya que las flexiones son proporcionales al cubo de la longitud, con un valor relativamente pequeño de la carga P puede producirse un esfuerzo de flexion grande, acompañado de un esfuerzo directo de compresion despreciable, y una columna larga esta sometida principalmente al esfuerzo de flexion.

Cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la importancia y efectos del esfuerzo direct de compresion y aumenta las del esfuerzo de flexion. Por desgracia en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varian estos dos tipos de esfuerzos.

                                                         BIBLIOGRAFIA

Tecnología Industrial, 2º Bachillerato Edit. Mc Graw Hill

Presentacion powerpoin 2007 
Esfuerzos combinados
Ing. Ramón Vilchez


Nash, william
Resistencia de Materiales
Editorial, McWraw Hill

Singer, Ferdinard L., Pytel, Anrew
 Resistencia de materiales,
 Introducción a la Mecánica de Sólidos