5.1 Circulo de Mhor para esfuerzos

Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden rescribirse para formar una ecuación de circunferencia :

Se tiene que :

σx' = ( σx + σy )/2 + (( σx - σy )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð)

ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - (( σx - σy )/2 ) (sen 2ð)

La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma :

σx' - ( σx + σy )/2 = (( σx - σy )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð)

Elevando al cuadrado se tiene :

(σx' - (σx + σy)/2)2 =(σx - σy)2/4 (cos 2ð)2 + (σx - σy) (cos 2ð) ðxy (sen 2ð) + ðxy2 (sen 2ð)2

Elevando al cuadrado la segunda ecuación se tiene :

ðx'y'2 = ðxy2 (cos 2ð)2 - ðxy (cos 2ð) (σx - σy) (sen 2ð) + (σx - σy)2/4 (sen 2ð)2

Sumando ambas expresiones :

(σx' - ( σx + σy )/2)2 + ðx'y'2 = ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2

Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces :

ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2 = b2

( σx + σy )/2 = a

Rescribiendo queda :

(σx' - a)2 + ðx'y'2 = b2

Si los ejes son :

x = σx'

y = ðx'y'


Tenemos :

( x - a )2 + y2 = b2

Que representa a una circunferencia con centro en x = a ; y = 0 con un radio

r = b. Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes características :

Centro en : x = ( σx + σy )/2 ; y = 0

Radio de : r2 = ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2

La figura siguiente muestra el círculo de Mohr creado a partir de un problema :